基于pd控制器调节含有扩散的捕食被捕食模型分岔点的方法
技术领域
1.本发明属于控制器技术领域，具体的说是涉及一种基于pd控制器调节含有扩散的捕食被捕食模型分岔点的方法。
背景技术：2.近几十年来，捕食被捕食模型在生物数学中得到了广泛的应用。生物数学作为一门重要的交叉学科，已经发展成为一门相对独立和完整的学科。它主要是应用数学和生物学相结合，根据自然界的实际情况建立数学模型，通过分析模型的动态行为，找出生态系统的发展规律。自volterra利用地中海动力学的相关知识解决了第二次世界大战中鲨鱼种群数量下降的问题以来，将动力学系统应用于生物数学的理论和方法越来越流行。
3.近年来，人们致力于研究种群的动态行为，如正平衡点的存在性、正平衡点的局部和全局渐近稳定性、传统响应、解的存在性和hopf分岔分析。同时，为了更好地适应现实环境，越来越多的学者开始考虑现实世界中有限的资源和生存空间等自然现象。同时，他们在考虑生态系统稳定性的情况下，将环境承载能力等因素加入到捕食被捕食模型中。在现实世界中，由于受环境、食物供应和季节等多种因素的影响，生物在空间上的分布是异质性的。因此，高密度人群倾向于迁移到低密度地区，以增加生存的可能性。
4.目前已提出了状态反馈控制器、混合控制器、时滞反馈控制器、比例微分(pd)控制器以及比例-积分-微分(pid)控制器等控制器，zl2021108603967公开了一种基于改进的捕食被捕食模型的分岔延迟控制器设计方法，这里的控制方式仅有时滞一项参数，控制方式较为单一不能起到良好的控制作用；混合控制器控制参数较多，对于系统的控制较为复杂，同样不能起到理想的控制效果。
5.随着捕食被捕食模型研究的深入，涉及空间扩散的种群模型的时空动力学问题越来越受到人们的重视，因此，引入反应扩散模型来描述种群的空间扩散是迫切需要解决的问题。
技术实现要素：6.针对以上技术问题，本发明提供了一种基于pd控制器调节含有扩散的捕食被捕食模型分岔点的方法，解决捕食被捕食模型产生的分岔点提前或滞后的问题，实现系统的稳定性。
7.为了达到上述目的，本发明是通过以下技术方案实现的：
8.本发明是基于pd控制器调节含有扩散的捕食被捕食模型分岔点的方法，包括以下步骤：
9.步骤一：建立无控含有被捕食者妊娠期时滞和扩散的偏微分捕食被捕食模型，得到系统唯一正平衡点：
[0010][0011]
其中u(t,x)和v(t,x)分别代表被捕食者和捕食者在时间t和位置x的种群密度；r表示被捕食者的内在生长率；k象征着被捕食者的环境承载力；a和b分别表示捕食的捕获能力和被捕食者转化为捕食者的速率；α象征着环境对被捕食者的保护程度；d表示捕食者的死亡率；τ表示被捕食者妊娠所需时间；δ代表rn上的拉普拉斯算子，其特征根为
ꢀ‑
k2,k∈n；d1和d2分别表示被捕食者和捕食者的时空扩散系数；ω＝(0,lπ)(l＞0)是具有光滑边界的有界区域。
[0012]
步骤二：对于无控的含有妊娠期时滞和扩散的捕食被捕食模型施加pd控制器，得到加入pd控制器的捕食被捕食模型：
[0013][0014]
式中，k
p
为比例控制参数；td为微分控制参数，td＜1。
[0015]
步骤三：对于受控模型在平衡点处进行线性化处理，得出被控系统的特征方程：
[0016][0017]
其中i2为二阶单位矩阵，λ为特征方程的根，然后上述特征方程可化简为：
[0018]
λ2+(d1k2+d2k
2-a
11-a
22
)λ+a
11a22-a
12a21
e-λτ
＝0,
[0019]
其中
[0020][0021][0022]
步骤四：选取和时滞为分岔参数，通过对该线性化后的被控网络的特征方程进行稳定性分析和分岔分析，选取适当的控制器参数，使得该网络在平衡点附近局部渐近稳定。当τ＝0时，即系统没有时滞时，此时系统的特征方程表示为：
[0023]
λ2+(d1k2+d2k
2-a
11-a
22
)λ+a
11a22-a
12a21
＝0.
[0024]
对特征方程式根的分布情况进行讨论；当τ＞0时，即系统含有时滞时，判断此时特征方程的根是否会出现在虚轴上，即是否会出现分岔点：如果出现分岔点τ0，将分岔点τ0与系统时滞τ进行比较，从而得知系统的稳定状态。
[0025]
本发明的有益效果是：
[0026]
1、本发明将妊娠期时滞和扩散都考虑到捕食被捕食模型中，更加精确地分析系统的的动力学行为。
[0027]
2、本发明的比例微分控制器有广泛适用性，不仅能应用到捕食被捕食模型当中，各类复杂动力学网络同样适用。
[0028]
3、本发明的比例微分控制器与其他控制器相比，控制作用更快，节省控制时间，有效改善控制质量，具有的两个控制参数使实际操作更加灵活方便。
附图说明
[0029]
图1为本发明所述的方法流程图。
[0030]
图2为无控模型(10)的d1＝0.3,d2＝0.3,τ＝4的情况下，系统稳定的时空波形图。
[0031]
图3为无控模型(10)的d1＝0.3,d2＝0.3,τ＝4的情况下，系统稳定的时空波形图。
[0032]
图4为无控模型(10)的d1＝0.3,d2＝0.3,τ＝4.2的情况下，系统不稳定的时空波形图。
[0033]
图5为无控模型(10)的d1＝0.3,d2＝0.3,τ＝4.2的情况下，系统不稳定的时空波形图。
[0034]
图6为在模型(11)控制器参数d1＝0.3,d2＝0.3,τ＝6.52,k
p
＝td＝-0.3的情况下，被控模型稳定的时空波形图。
[0035]
图7为在模型(11)控制器参数d1＝0.3,d2＝0.3,τ＝6.52,k
p
＝td＝-0.3的情况下，被控模型稳定的时空波形图。
具体实施方式
[0036]
以下将以图式揭露本发明的实施方式，为明确说明起见，许多实务上的细节将在以下叙述中一并说明。然而，应了解到，这些实务上的细节不应用以限制本发明。也就是说，在本发明的部分实施方式中，这些实务上的细节是非必要的。
[0037]
如图1所示，本发明是基于pd控制器调节含有扩散的捕食被捕食模型分岔点的方法，具体包括以下步骤：
[0038]
步骤一：建立无控含有被捕食者妊娠期时滞和扩散的偏微分捕食被捕食模型，得到系统唯一正平衡点。
[0039]
所述无控的捕食被捕食模型的数学表达为：
[0040][0041]
其中u(t,x)和v(t,x)分别代表被捕食者和捕食者在时间t和位置x的种群密度；r表示被捕食者的内在生长率；k象征着被捕食者的环境承载力；a和b分别表示捕食的捕获能
力和被捕食者转化为捕食者的速率；α象征着环境对被捕食者的保护程度；d表示捕食者的死亡率；τ表示被捕食者妊娠所需时间；δ代表rn上的拉普拉斯算子，其特征根为
ꢀ‑
k2,k∈n；d1和d2分别表示被捕食者和捕食者的时空扩散系数；ω＝(0,lπ)(l＞0)是具有光滑边界的有界区域。
[0042]
步骤二：对于无控的含有妊娠期时滞和扩散的捕食被捕食模型施加pd控制器，得到加入pd控制器的捕食被捕食模型。pd控制器的数学模型表达式为：
[0043][0044]
式中，k
p
为比例控制参数；td为微分控制参数，td＜1。
[0045]
施加pd控制器后被控捕食被捕食模型的数学表达式如下：
[0046][0047]
步骤三：对带有时滞和扩散的被控捕食被捕食模型在平衡点处进行线性化处理，得到被控系统的数学模型为：
[0048][0049]
经过计算进一步得到系统(3)的相关特征方程为：
[0050][0051]
其中i2为二阶单位矩阵，λ为特征方程的根，然后上述特征方程可化简为：
[0052]
λ2+(d1k2+d2k
2-a
11-a
22
)λ+(d1k
2-a
11
)(d2k
2-a
22
)-a
12a21
e-λτ
＝0
ꢀꢀꢀ
(4)
[0053]
其中
[0054][0055][0056]
步骤四：采用捕食被捕食模型的妊娠期时滞为分岔参数，对被控网络的特征方程进行稳定性分析和分岔分析。
[0057]
(1)当τ＝0时，此时系统为无时滞系统，特征方程(4)变为：
[0058]
λ2+(d1k2+d2k
2-a
11-a
22
)λ+(d1k
2-a
11
)(d2k
2-a
22
)-a
12a21
＝0.
ꢀꢀꢀ
(5)
[0059]
上述方程的根具有负实部的充要条件为如下的routh-hurwitz判据满足：
[0060]
d1k2+d2k
2-a
11-a
22
＞0,
[0061]
(d1k
2-a
11
)(d2k
2-a
22
)-a
12a21
＞0.
[0062]
因此，当控制器参数满足上述两个不等式时，无时滞情况下的模型是稳定的；
[0063]
(2)当τ＞0时，即系统存在时滞，将λ＝iω(ω＞0)带入被控系统的特征方程，分离实虚部得：
[0064][0065]
其中
[0066]
p(k)＝(d1k
2-a
11
)(d2k
2-a
22
),
[0067]
q(k)＝a
11
+a
22-(d1k2+d2k2).
[0068]
对式(6)两边平方求和得：
[0069][0070]
此时令
[0071][0072]
当时，上述方程至少有一个正根ω0，此时时滞为：
[0073][0074]
分岔点是系统从稳定到不稳定的一个临界点，那么对应的特征方程的根要从该点处穿越虚轴到达虚轴的右半平面，因此在该点特征根对于分岔参数的导数在处的实部是大于零的，那么特征根才能从复平面的左半平面穿越到右半平面。
[0075]
特征方程两端求导对τ求导得：
[0076][0077]
则可以看出在τ0处满足穿越条件，因此，τ0是原被控系统的分岔点。我们可以得出以下结论：
[0078]
(i)当时滞选取满足τ∈[0,τ0)，受控模型在平衡点e
*
(u
*
,v
*
)处局部渐近稳定；
[0079]
(ii)当时滞满足τ＝τ0时，系统在平衡点e
*
(u
*
,v
*
)处产生hopf分岔。
[0080]
下面运用实例对本发明作进一步说明。本发明运用matlab仿真实例来验证。
[0081]
第一步：选取无控含有被捕食者妊娠期时滞和扩散的偏微分捕食被捕食模型：
[0082][0083]
通过对hopf分岔的计算可得，无控系统的分岔时滞为如图2，3所示，当选取妊娠期时滞为时，无控模型(10)在平衡点处渐近稳定。
[0084]
如图4，5所示，当选取妊娠期时滞为时，无控模(10)型失去稳定性，产生震荡，且在平衡点周围出现hopf分岔现象。
[0085]
第二步：对含有被捕食者妊娠期时滞和扩散的偏微分捕食被捕食模型施加比例微分控制器，控制器参数k
p
＝0.3,td＝0.3。受控系统的具体数学表达如下：
[0086][0087]
通过计算得出被控系统分岔点
[0088]
如图6，7所示，当选取妊娠期时滞为时，在控制器的影响下受控模型在平衡点处重回稳定状态。
[0089]
本发明将被捕食者妊娠期时滞和扩散考虑到捕食被捕食模型中，更加精确地分析捕食被捕食动力学行为；本发明的比例微分控制器控制作用更快，有效改善控制质量。
[0090]
以上所述仅为本发明的实施方式而已，并不用于限制本发明。对于本领域技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原理的内所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包括在本发明的权利要求范围之内。
技术特征：1.一种基于pd控制器调节含有扩散的捕食被捕食模型分岔点的方法，其特征在于：所述方法包括如下步骤：步骤1：建立无控含有被捕食者妊娠期时滞和扩散的偏微分捕食被捕食模型，得到系统唯一正平衡点；步骤2：对于步骤1中得到的无控的含有妊娠期时滞和扩散的捕食被捕食模型施加pd控制器，得到加入pd控制器的捕食被捕食模型；步骤3：将步骤2得到的受pd控制器作用的捕食被捕食模型在平衡点处线性化，得出线性化的被控网络的特征方程；步骤4：选取时滞作为分岔参数，通过对该线性化后的被控网络的特征方程进行稳定性分析和分岔分析，选取适当的控制器参数，使得该网络在平衡点附近局部渐近稳定。2.根据权利要求1所述基于pd控制器调节含有扩散的捕食被捕食模型分岔点的方法，其特征在于：步骤1中含有被捕食者妊娠期时滞和扩散的偏微分捕食被捕食模型表达式为：其中u(t,x)和v(t,x)分别代表被捕食者和捕食者在时间t和位置x的种群密度；r表示被捕食者的内在生长率；k象征着被捕食者的环境承载力；a和b分别表示捕食的捕获能力和被捕食者转化为捕食者的速率；α象征着环境对被捕食者的保护程度；d表示捕食者的死亡率；τ表示被捕食者妊娠所需时间；δ代表r
n
上的拉普拉斯算子，其特征根为-k2,k∈n；d1和d2分别表示被捕食者和捕食者的时空扩散系数；ω＝(0,lπ)(l＞0)是具有光滑边界的有界区域。3.根据权利要求2所述基于pd控制器调节含有扩散的捕食被捕食模型分岔点的方法，其特征在于：所述偏微分捕食被捕食模型为正平衡点e
*
(u
*
,v
*
)，该平衡点满足4.根据权利要求3所述基于pd控制器调节含有扩散的捕食被捕食模型分岔点的方法，其特征在于：步骤2中pd控制器的表达式为：式中，k
p
为比例控制参数；t
d
为微分控制参数，t
d
＜1。5.根据权利要求4所述基于pd控制器调节含有扩散的捕食被捕食模型分岔点的方法，其特征在于：步骤2中施加pd控制器后的捕食被捕食模型表达式为：
6.根据权利要求5所述基于pd控制器调节含有扩散的捕食被捕食模型分岔点的方法，其特征在于：步骤3中的被控网络的模型为：经计算得出线性化的被控网络的特征方程：其中i2为二阶单位矩阵，λ为特征方程的根，然后上述特征方程可化简为：λ2+(d1k2+d2k
2-a
11-a
22
)λ+a
11
a
22-a
12
a
21
e-λτ
＝0,其中其中7.根据权利要求1所述基于pd控制器调节含有扩散的捕食被捕食模型分岔点的方法，其特征在于：所述步骤4中稳定性分析的过程为：当被控系统特征方程的根分布在复平面的左半部分时，系统处于稳定状态；当被控系统特征方程的根出现在复平面的虚轴上时，系统处于临界稳定状态；当τ＝0时，即系统没有时滞时，此时系统的特征方程表示为：λ2+(d1k2+d2k
2-a
11-a
22
)λ+a
11
a
22-a
12
a
21
＝0.对特征方程式根的分布情况进行讨论；当τ＞0时，即系统含有时滞时，判断此时特征方程的根是否会出现在虚轴上，即是否会出现分岔点：如果出现分岔点τ0，将分岔点τ0与系统时滞τ进行比较，从而得知系统的稳定状态。
技术总结本发明是一种基于PD控制器调节含有扩散的捕食被捕食模型分岔点的方法，包括如下步骤：1、建立偏微分捕食被捕食模型，得到系统唯一正平衡点；2、对于捕食被捕食模型施加PD控制器，得到加入PD控制器的捕食被捕食模型；3、将受PD控制器作用的捕食被捕食模型在平衡点处线性化，得出线性化的被控网络的特征方程；4、选取时滞作为分岔参数，通过对该线性化后的被控网络的特征方程进行稳定性分析和分岔分析，选取适当的控制器参数，使得该网络在平衡点附近局部渐近稳定。本发明将被捕食者妊娠期时滞和扩散考虑到捕食被捕食模型中，更加精确地分析捕食被捕食动力学行为PD控制器控制作用更快，有效改善控制质量。有效改善控制质量。
技术研发人员：肖敏 李健 张明月 钱蓉
受保护的技术使用者：南京邮电大学
技术研发日：2022.03.16
技术公布日：2022/7/5
