1.本发明属于有限元分析技术领域，具体涉及一种基于插值小波的多分辨梁单元的构造方法。
背景技术：2.杆件是土木工程、机械与航天航空等工程领域中常用的一种结构类型，在仿真模拟分析时，主要使用基于低阶多项式插值的梁单元对其进行力学分析。由于此类梁单元自身的分辨率水平无法调节，因此在求解中只能通过调整网格划分来调控结构分析精度，导致在实际应用中需反复调整网格划分才能获得满足要求的结果。而网格划分需消耗大量的时间，由此造成整体分析效率不高。特别是对于涉及裂纹或复杂载荷等存在局部大梯度的问题，生成所需的局部细化网格颇为耗时。同时，由于低阶多项式无法高效地逼近三角函数，导致上述以低价多项式为插值函数的梁单元在自由振动与屈曲分析中的效率不高。此外，在许多结构中杆件的轴向变形远比弯曲变形简单，且转角可由横向位移的一阶导数有效表征(欧拉伯努利梁理论)，显然对于此类问题只需使用较少的轴向自由度(相较于横向自由度)，并在杆件连接处与结构支撑处设置转角自由度即可满足要求。但在上述目前最常用的梁单元中，其轴向、横向与转角自由度数量总是相等，由此造成在这些结构分析中计算资源的浪费。
3.小波分析作为一种新型的数学工具，其最大的优势是具有局部多分辨分析特性。以小波级数为位移近似格式的有限元单元可以通过调控小波基函数的分辨率水平来便利地调节整体和局部分析，无需反复进行网格划分。特别是对于存在局部大梯度的问题，可以通过在相应的局部区域添加高分辨率水平的小波基函数来有效求解，无需进行局部细化有限元网格。这是一种优于传统网格加密与阶次升高的多分辨分析技术，具有优良的分析效率、求解精度与数值稳定性。然而，构造要求位移插值函数具有连续导数的小波梁单元并非易事。目前主要有两种构造途径，一是通过转换矩阵建立小波展开系数与节点位移之间的联系，如区间b样条小波梁单元，但这一方式需计算转换矩阵的逆，导致计算量大且存在数值失稳的风险(转换矩阵的可逆性依赖于单元内部节点分布)。另一方式是采用具有埃尔米特插值性质的三角小波来构造梁单元，但由于基于三角小波的位移插值函数无法精确重构低阶多项式，违背了有限元理论中所要求的位移插值函数需可精确表征刚体位移与常应变状态这一基本要求，因此存在解不收敛的风险，且其分析精度将会依赖于具体问题，如对于结构中经常出现的无横向载荷作用的梁，其分析精度从理论上来说不如采用低阶多项式插值的传统梁单元，因为此时后者可以获得数值意义上的精确解。
技术实现要素：4.本发明基于插值小波分析理论，提出了一种新型边界延拓方式，从而建立了一种具有埃尔米特插值性质与精确重构低阶多项式能力的小波多分辨逼近格式。继而，以此逼近格式为位移插值函数，基于拉格朗日运动学定理推导得到了描述梁单元运动与变形的控
制方程，从而建立了一种基于插值小波的多分辨梁单元的构造方法，用于相关结构的力学分析。本发明的详细技术方案如下：一种基于插值小波的多分辨梁单元的构造方法，计算过程按以下步骤进行：1）生成描述单元拉伸变形的内部节点：a.选定分析拉伸变形的基础分辨率水平，生成描述拉伸的基础节点，；b.在需要提高精度的区域添加局部节点；c.识别所有节点的二分点式表征参数p
t
(n)与k
t
(n)，其中函数p
t
(n)为不小于并使得为整数的最小整数；d.合并所有位于同一位置的节点，并将所有节点按坐标从小到大依次编号为；2）生成描述单元弯曲变形的内部节点：a.选定描述弯曲变形的基础分辨率水平，生成描述弯曲的基础节点；b.在需要提高精度的区域添加局部节点；c.识别所有节点的二分点式表征参数p
t
(n)与kb(n)，其中函数p
t
(n)为不小于并使得为整数的最小整数；d.合并所有位于同一位置的节点，并删除所有以及 或的局部节点，最后将所有节点按坐标从小到大依次编号为；3）生成单元形函数：基于单元内部节点，分别生成描述拉伸变形的单元形函数：式中：为二阶插值小波函数；同时生成描述弯曲变形的单元形函数：
其中式中为四阶插值小波函数；4）计算单元刚度矩阵：其中子矩阵各元素具体为：
其中与分别为梁单元的抗拉刚度与抗弯刚度，j
ku
和j
kw
为控制单元刚度矩阵积分精度的独立参数，le为单元长度；其中，当抗拉刚度与抗弯刚度分别为常数时，有：和5）计算单元质量矩阵：其中子矩阵各元素具体为：其中为梁单元的线密度，ju和jw为控制单元质量矩阵积分精度的独立参数；其中，当线密度为常数时，有：
6）计算单元几何刚度矩阵：其中子矩阵各元素具体为：式中为梁单元的轴力，jg为控制单元几何刚度矩阵积分精度的独立参数；其中，当轴力为常数时，有：7）计算单元内部载荷的广义等效节点载荷：其中：式中
其中、与分别为梁单元上作用的轴向分布力，横向分布力与分布弯矩，j
p
、jq和j
θ
为控制载荷积分精度的独立参数，、与为梁单元内部的轴向集中力、横向集中力与集中弯矩，分别为其作用点；其中，当轴向分布力、横向分布力或分布弯矩均匀分布时，分别有：，或8）生成全局坐标系下的单元运动控制方程：式中整体坐标系下的质量矩阵、刚度矩阵、几何刚度矩阵与广义等效节点载荷分别为：广义节点位移与端部集中载荷的等效节点载荷分别为：广义节点位移与端部集中载荷的等效节点载荷分别为：其中坐标转换矩阵为，式中，，这里与
分别为单元起点与终点坐标，分别为单元起点处沿全局坐标系x方向的位移、y方向的位移与转角，分别为单元终点处沿全局坐标系x方向的位移、y方向的位移与转角，分别为作用在单元起点处沿全局坐标系x方向的集中力、y方向的集中力与集中弯矩，分别为作用在单元终点处沿全局坐标系x方向的集中力、y方向的集中力与集中弯矩；9）基于步骤8）获取的单元运动方程，依据标准有限元的分析流程直接组装获得结构的总体运动方程，求解便可获得整体广义节点位移，继而获得相应的单元节点位移，由此基于形函数重构获得单元位移场。
5.一、[0, 1]区间上c1型小波多分辨格式的构造基于插值小波多分辨理论，在[0, 1]区间上逼近连续函数f(x)的一个多分辨格式可写为：，其中θ(x) 为四阶插值小波，奇数集可为集合的任意子集，d
j,k
为展开系数。
[0006]
上述展开格式中需用到实际中并不存在的域外节点值，，需结合边界延拓技术用域内节点值插值给出此四个虚拟节点值。但目前所有边界延拓技术只能保证改进后的插值格式具有c0连续性，即保证在x=0和1处，插值格式恒等于原函数，而无法保证其一阶导数值相等。
[0007]
在区间与区间上分别基于节点值f(0)，f'(0)，构造三次艾米特插值多项式可得：
将上述值代入原小波多分辨近似格式可得：其中基函数从上述推导可以看出，为了保证可以构造三次埃尔米特插值多项式，基础分辨率水平j0必须大于等于1。定义节点为，将上述近似格式中所有用到的节点按坐标从小至大排序后，可将该近似格式改写为常用格式：其中展开系数：基函数为。
[0008]
上式即为本发明所构建的小波多分辨插值格式，可以证明其可精确重构所有不高于三阶的多项式(相较于三角小波梁单元的优点)，且具有埃尔米特插值性质(相较于其他小波插值格式的区别)，即满足关系：，，，，同时从上述过程可以看出，本发明所提出的c1型插值基函数的构造无需计算任何逆矩阵，其可显式写为标准小波基函数的线性组合(相较于区间b样条小波梁单元的优点)。
[0009]
二、小波多分辨梁单元的构造采用上述本发明所构造的埃尔米特型小波多分辨插值格式表征梁单元的横向位移可得(独有的插值格式)：式中形函数，展开系数、、以及，其中为梁截面的转角，为沿梁轴向的归一化坐标，le为梁单元的长度。
[0010]
同时，用基于二阶插值小波的多分辨近似格式表征梁单元的轴向位移可得：式中形函数，展开系数以及，其中为二阶插值小波基函数。
[0011]
用上述两位移插值函数分别表征梁单元的动能、弹性势能以及外力虚功，继而基于拉格朗日运动学定理可得梁单元无阻尼振动方程为：式中单元广义节点位移向量单元质量矩阵：
其中子矩阵上式中各元素具体为：其中为梁单元的线密度，ju和jw为控制单元质量矩阵积分精度的独立参数。在上述计算格式中，将线密度用位移插值函数所采用的小波尺度级数进行了展开。其中，当线密度为一常数时，有：单元刚度矩阵为：其中子矩阵
上式中各元素具体为：其中与分别为梁单元的抗拉刚度与抗弯刚度，j
ku
和j
kw
为控制单元刚度矩阵积分精度的独立参数。在上述计算格式中，将抗拉刚度与抗弯刚度用位移插值函数所采用的小波尺度级数进行了展开。其中，当抗拉刚度与抗弯刚度分别为常数时，有：和单元几何刚度矩阵为：其中子矩阵
其中各元素具体为：式中为梁单元的轴力，jg为控制单元几何刚度矩阵积分精度的独立参数。在上述计算格式中，将轴力用位移插值函数所采用的小波尺度级数进行了展开。其中，当轴力为常数时，有：单元内部载荷(除端点集中载荷)的广义等效节点载荷为：其中：式中其中分别为梁单元上作用的轴向分布力，横向分布力与分布弯矩，为控制载荷积分精度的独立参数，为梁单元内部的轴向集中力、横向集中力与集中弯矩，分别为其作用点。在上述计算格式中，将分布载荷用位移插值函数所采用的小波尺度级数进行了展开。其中，当轴向分布力、横向分布力或分布弯矩均匀分布时，分别有：
，或单元端点处集中载荷的广义等效节点载荷为：式中为作用在梁单元起点处的轴向集中力、横向集中力与集中弯矩，为作用在梁单元终点处的轴向集中力、横向集中力与集中弯矩。
[0012]
上述计算过程中所有用到的函数值、导数值与积分值均可由基础数据库获得，无需进行数值积分，具体计算过程与基础数据库的生成方法已由发明人给出(xiaojing liu, guirong liu, jizeng wang, youhe zhou, a wavelet multiresolution interpolation galerkin method for targeted local solution enrichment, computational mechanics, 2019, 64: 989
–
1016)。
[0013]
设梁单元的起点与终点在全局坐标系下的坐标分别为，定义坐标转换矩阵，其中，。由单元坐标系下梁的运动控制方程可得全局坐标系下的运动控制方程为：式中整体坐标系下的质量矩阵、刚度矩阵、几何刚度矩阵与广义等效节点载荷分别为：，，，广义节点位移与端部集中载荷的等效节点载荷分别为：广义节点位移与端部集中载荷的等效节点载荷分别为：
其中分别为单元起点处沿全局坐标系x方向的位移、y方向的位移与转角，分别为单元终点处沿全局坐标系x方向的位移、y方向的位移与转角，分别为作用在单元起点处沿全局坐标系x方向的集中力、y方向的集中力与集中弯矩，分别为作用在单元终点处沿全局坐标系x方向的集中力、y方向的集中力与集中弯矩。
[0014]
本发明的有益效果在于：1.可通过调节单元的分辨率水平调控整体或局部的求解精度，无需复杂的网格划分；2.轴向自由度数量与横向自由度数量可独立配置，以实现不同工况下的最优求解；3.只在单元的端点处设置转角自由度以施加连续性条件或位移约束，相较于传统梁单元大幅减少了总自由度数量；4.所使用的位移插值函数可精确重构所有不高于三阶的多项式，满足有限元理论的一致性要求，且具有优良的逼近三角函数的能力；5.位移插值函数的构造无需计算任何逆矩阵，保证了方法的效率与稳定性；6.本发明构建的小波多分辨梁单元全面支持变材料密度、变材料弹性模量与变杆件截面，以及常见的载荷与边界条件；7.本发明提出的小波多分辨梁单元的求解效率明显优于目前常用的基于三次多项式插值的梁单元，尤其是在自由振动分析与屈曲分析中优势非常明显。
附图说明
[0015]
图1实施例1等截面简支梁受横向均布载荷作用示意图；图2实施例1本发明方法所使用的5组单元弯曲分辨率水平对应的单元内部弯曲节点分布图；图3是实施例1本发明方法在不同单元分辨率水平下的绝对误差；图4是实施例2变截面悬臂梁受横向集中载荷作用示意图；图5是实施例3等截面简支梁示意图；图6是实施例4阶梯梁受端部集中载荷作用示意图。
具体实施方式
[0016]
下面结合具体实施例对本发明作进一步说明：本部分提供4个实施例来直观展示本发明方法的有效性与性能，其中前三个算例的对照结果直接来自商业有限元软件ansys (2022 r1)的测试手册，最后一个算例的对照结果同样基于该测试手册上所提供的相关命令流修改而得(ansys, inc., ansys mechanical apdl verification manual, release 2022 r1, canonsburg: ansys, inc., 2022)。
[0017]
实施例1: 横向均布载荷作用下等截面简支梁的弯曲分析如图1所示，梁长l=200 in，梁截面尺寸b=h=2.5 in，材料弹性模量e=30 mpsi，横向分布载荷p=1.79253 lb/in。
[0018]
表1. 实施例1本发明方法与商业有限元软件求解结果的比较在计算中将整根梁划分为1个单元，其中单元的拉伸分辨率始终设置为 (即采用两个拉伸自由度)，分别使用5组弯曲分辨率(如图2所示)进行求解，所得结果的绝对误差如图3所示。从图3中可以看出，当单元的整体或局部分辨率水平逐步升高时，解的误差在相应的区间内逐步减小，说明本发明方法可以通过调整单元的整体或局部分辨率水平有效调控整体或局部的分析精度，而无需重新划分网格。表1给出了本发明方法与目前常用商业有限元软件(使用基于三次多项式插值的梁单元)求解结果的比较，从中可以看出本发明方法具有优良的求解效率。如二者均使用均匀节点分布时，本发明方法使用21个自由度的相对误差仅为商业有限元软件使用27个自由度(划分为8个单元)的43%。
[0019]
实施例2：横向集中载荷作用下连续变截面悬臂梁的弯曲分析如图4所示，梁长l=20 in，高h=0.5 in，宽为一底边长b=3 in的等腰三角形，材料弹性模量e=30 mpsi，横向集中载荷p=10 lbs。
[0020]
表2. 本发明方法与商业有限元软件求解结果的比较在计算中将整根梁划分为1个单元，其中单元的拉伸分辨率设置为0，弯曲分辨率设置为1，无局部节点，此时单元共7个自由度(所允许的最少自由度数量)。表2分别给出了本发明方法与商业有限元软件的求解结果，其中后者将梁划分为10个等长单元。从中可以看出，本发明方法获得了数值意义上的精确解(即只存在数值计算的舍入误差)，证明了本发明梁单元所使用的位移插值函数可精确重构所有不高于3阶的多项式(本问题的精确解为二次多项式)。此外，表2的结果也说明本发明方法在变截面梁分析中相较于目前常用的商业有限元更为高效。
[0021]
实施例3：等截面简支梁的自由振动分析如图5所示，梁长l=80 in，梁截面积a=4 in2，惯性矩i=1.3333 in4，材料密度ρ=0.000728 lb-sec2/in4，弹性模量e=30 mpsi。
[0022]
表3. 本发明方法与商业有限元软件求解结果的比较
在计算中将整根梁划分为1个单元，其中单元的拉伸分辨率设置为0，弯曲分辨率设置为4，无局部节点，此时单元共21个自由度。表3给出了基于本发明方法与商业有限元软件所得的前5阶固有频率，其中后者使用8个等长单元。从表3可以看出，本发明方法在自由振动分析中相较于目前常用的商业有限元具有更高的分析效率，尤其是对于高阶自由振动模态。如对于第5阶模态，前者使用21个自由度时的相对误差仅为后者使用27个自由度时的7.76%。
[0023]
实施例4：阶梯梁屈曲分析如图6所示，梁长l=6 m，左半部分与右半部分的横截面尺寸分别为b0=2h0=0.2 m与b1=h1=0.1 m，材料弹性模量e=200 gpa。
[0024]
表4. 本发明方法与商业有限元软件求解结果的比较在计算中将整根梁划分为2个等长的单元，其中两个单元的拉伸分辨率均设置为0，弯曲分辨率均设置为4，无局部节点，此时每个单元各有21个自由度，整体共39个自由度。表4给出了基于本发明方法与商业有限元软件所得的临界屈曲载荷，其中后者使用12个等长单元，整体也共39个自由度。从表4可以看出，本发明方法在屈曲分析中相较于目前常用的商业有限元具有更高的分析效率。如对于两端简支阶梯梁，二者使用相同数量的自由度时，本发明方法的相对误差仅为商业有限元的3.36%。
技术特征：1.一种基于插值小波的多分辨梁单元的构造方法，其特征在于，计算过程按以下步骤进行：1）生成描述单元拉伸变形的内部节点：a.选定分析拉伸变形的基础分辨率水平，生成描述拉伸的基础节点，；b.在需要提高精度的区域添加局部节点；c.识别所有节点的二分点式表征参数p
t
(n)与k
t
(n)，其中函数p
t
(n)为不小于并使得为整数的最小整数；d.合并所有位于同一位置的节点，并将所有节点按坐标从小到大依次编号为；2）生成描述单元弯曲变形的内部节点：a.选定描述弯曲变形的基础分辨率水平，生成描述弯曲的基础节点；b.在需要提高精度的区域添加局部节点；c.识别所有节点的二分点式表征参数p
t
(n)与k
b
(n)，其中函数p
t
(n)为不小于并使得为整数的最小整数；d.合并所有位于同一位置的节点，并删除所有以及或的局部节点，最后将所有节点按坐标从小到大依次编号为；3）生成单元形函数：基于单元内部节点，分别生成描述拉伸变形的单元形函数：式中：为二阶插值小波函数；同时生成描述弯曲变形的单元形函数：
其中式中为四阶插值小波函数；4）计算单元刚度矩阵：其中子矩阵各元素具体为：其中与分别为梁单元的抗拉刚度与抗弯刚度，j
ku
和j
kw
为控制单元刚度矩阵积分精度的独立参数，l
e
为单元长度；其中，当抗拉刚度与抗弯刚度分别为常数时，
有：和5）计算单元质量矩阵：其中子矩阵各元素具体为：其中为梁单元的线密度，j
u
和j
w
为控制单元质量矩阵积分精度的独立参数；其中，当线密度为常数时，有：6）计算单元几何刚度矩阵：
其中子矩阵各元素具体为：式中为梁单元的轴力，j
g
为控制单元几何刚度矩阵积分精度的独立参数；其中，当轴力为常数时，有：7）计算单元内部载荷的广义等效节点载荷：其中：式中
其中、与分别为梁单元上作用的轴向分布力，横向分布力与分布弯矩，j
p
、j
q
和j
θ
为控制载荷积分精度的独立参数，、与为梁单元内部的轴向集中力、横向集中力与集中弯矩，分别为其作用点；其中，当轴向分布力、横向分布力或分布弯矩均匀分布时，分别有：，或8）生成全局坐标系下的单元运动控制方程：式中整体坐标系下的质量矩阵、刚度矩阵、几何刚度矩阵与广义等效节点载荷分别为：广义节点位移与端部集中载荷的等效节点载荷分别为：广义节点位移与端部集中载荷的等效节点载荷分别为：其中坐标转换矩阵为，式中，，这里与
分别为单元起点与终点坐标，分别为单元起点处沿全局坐标系x方向的位移、y方向的位移与转角，分别为单元终点处沿全局坐标系x方向的位移、y方向的位移与转角，分别为作用在单元起点处沿全局坐标系x方向的集中力、y方向的集中力与集中弯矩，分别为作用在单元终点处沿全局坐标系x方向的集中力、y方向的集中力与集中弯矩；9）基于步骤8）获取的单元运动方程，依据标准有限元的分析流程直接组装获得结构的总体运动方程，求解便可获得整体广义节点位移，继而获得相应的单元节点位移，由此基于形函数重构获得单元位移场。
技术总结本发明公开了一种基于插值小波的多分辨梁单元的构造方法，从而显式建立了一种具有埃尔米特插值性质与精确重构低阶多项式能力的小波多分辨逼近格式。继而，以此逼近格式为位移插值函数，基于拉格朗日运动学定理推导得到了描述梁单元运动的控制方程，从而提出了一种基于插值小波的多分辨梁单元的构造方法，用于相关结构的力学分析。可通过调节单元的分辨率水平调控整体或局部的求解精度，无需复杂的网格划分；轴向自由度数量与横向自由度数量可独立配置，以实现不同工况下的最优求解；本发明提出的小波多分辨梁单元的求解效率明显优于目前常用的基于三次多项式插值的梁单元，尤其是在自由振动分析与屈曲分析中优势非常明显。是在自由振动分析与屈曲分析中优势非常明显。是在自由振动分析与屈曲分析中优势非常明显。
技术研发人员：刘小靖 刘聪 王记增 周又和
受保护的技术使用者：兰州大学
技术研发日：2022.05.06
技术公布日：2022/7/5
